Быстро найти формулу для расчета онлайн.

Дано:
Размер клетки, = 1 см на 1 см

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
К - вершина прямого угла, достроенного прямоугольного треугольника
D - диаметр описанной окружности
c - гипотенуза треугольника

Решение

Суть всего решения сводится к тому, что:
- первое, достроенный треугольник АСК, имеет смежную гипотенузу с треугольником АВС и является также вписанным в окружность и прямоугольным. А у этого треугольника мы можем уже точно определить его катеты АК=13клеток=13см и КС=5клеток=5см.
- второе, как известно, если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза равна диаметру окружности. Это так же видно и из чертежа.

Для определения площади круга, используем следующую формулу через диаметр, который необходимо найти.

А как уже было сказано выше, диаметр окружности равен гипотенузе.

По теореме Пифагора, находим гипотенузу, т. е. диаметр окружности.

Подставляем полученное выражение в формулу площади круга.

Вставляем значения и вычисляем результат.

Дано:
Катет, a = 4 см
Катет, b = 7 см

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
R - радиус описанной окружности
D - диаметр описанной окружности
c - гипотенуза треугольника

Решение

Можно применить формулу площади круга через радиус или через диаметр. И мы воспользуемся формулой через диаметр, который пока мы не знаем.

Но как известно, если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза равна диаметру окружности. Это так же видно и из рисунка. А гипотенузу, зная катеты, мы можем найти по теореме Пифагора

Теперь, подставим полученное выражение в формулу площади круга.

Далее, вставляем значения и получаем результат

Дано:
Отрезок, ОК = 2 м

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
R - радиус описанной окружности
h - высота треугольника

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но пока он нам не известен, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет следующая формула. В ней он выражен через высоту вписанного треугольника, которую мы тоже пока не знаем.

Но очевидно, что высота равна сумме радиуса и отрезка ОК.

И уже на основании двух последних формул, подставим вместо высоты - сумму радиуса и отрезка ОК и преобразуем.

И на конец, получаем радиус окружности, выраженный через отрезок ОК.

Теперь, вместо радиуса подставляем выражение которое мы вывели. В результате получаем формулу искомой площади круга через длину отрезка ОК.

Вставляем значения.

Дано:
Катет, a = 2 м
Противоположный угол, α = 30^°

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
R - радиус описанной окружности
D - диаметр описанной окружности
c - гипотенуза треугольника

Решение

Можно применить формулу площади круга через радиус или через диаметр. И мы воспользуемся формулой через диаметр, который пока мы не знаем.

Но как известно, если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза равна диаметру окружности. Это так же видно и из рисунка. А зная катет и противоположный угол, мы можем найти гипотенузу треугольника, т. е. диаметр окружности. Далее, подставив значения, находим чему равен диаметр.

Теперь, зная диаметр, вычислим площадь круга.

Дано:
Высота треугольника, h = 3 м

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
R - радиус описанной окружности

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но пока он нам не известен, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет следующая формула. В ней он выражен через высоту вписанного треугольника, которую мы знаем.

Подставим радиус выраженный через высоту и преобразовав, получим следующие выражение.

Подставим значения.

Дано:
Сторона треугольника, a = 1 м

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
R - радиус описанной окружности

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но пока он нам не известен, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет следующая формула. В ней радиус окружности выражен через сторону вписанного треугольника.

Подставим радиус выраженный через сторону и преобразовав, получим следующие выражение.

Подставим значения.

Дано:
Сторона квадрата, a = 2 м

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
R - радиус окружности
D - диаметр окружности

Решение

Площадь искомой области можно выразить как разницу между площадью квадрата и площадью круга

Площадь квадрата

Площадь круга

Неизвестен радиус окружности. Из рисунка видно, что сторона квадрата равна диаметру окружности и соответственно удвоенному радиусу

Выразим радиус окружности через сторону квадрата и подставив значение, получим радиус окружности.

Формула площади искомой области на основании выкладок выше, будет выглядеть следующим образом.

Подставив уже известные значения стороны квадрата и радиуса окружности, получаем.

Если в уже полученное выражение подставить формулу площади круга выраженную через сторону квадрата и преобразовав, получим следующую формулу, в которой площадь закрашенной области, будет сразу выражена через сторону квадрата.

Проверим, подставив наше значение.

Дано:
Радиус окружности, R = 3 м

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности
a - сторона квадрата
d - диагональ квадрата
D - диаметр окружности

Решение

Площадь искомой области можно выразить как разницу между площадью круга и площадью квадрата

Площадь круга

Площадь квадрата

Неизвестна сторона квадрата. Из рисунка видно, что диагональ квадрата равна диаметру окружности и соответственно удвоенному радиусу

Сторону квадрата можно выразить через диагональ, используя следующую формулу. И вместо диагонали подставить радиус окружности.

Теперь, формула площади квадрата через радиус окружности, будет выглядеть следующим образом.

Подставив уже известные формулы площади круга и квадрата выраженные через радиус, в самую первую формулу площади искомой области, получаем.

Вставляем значения.

Дано:
Радиус внешней окружности, R = 10 см
Радиус внутренней окружности, r = 8 см

Пояснение к рисунку:
O - общий центр окружностей

Решение

Площадь кольца можно выразить как разницу между площадями внешнего круга и внутреннего.

Формула площади внешнего круга.

Формула площади внутреннего круга.

После подстановки и преобразования, получаем следующее выражение для площади кольца.

Вставляем значения.

Дано:
Длина окружности, L = 5 м

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но нам пока не известен радиус, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет формула длины окружности.

После преобразования, выразим радиус через длину окружности и подставим значения.

Получили значение радиуса окружности.

В формулу площади круга, подставляем найденное значение радиуса.

Если в формулу площади круга подставить выраженный радиус через длину окружности, то получим следующую формулу, в которой площадь круга сразу выражена через длину окружности. Проверим, подставив наше значение

Дано:
Диаметр окружности, D = 2 см

Пояснение к рисунку:
O - центр окружности

Решение

Используем формулу площади круга через диаметр.

Подставим значения и вычислим результат.

Дано:
Радиус окружности, R = 2 см

Пояснение к рисунку:
O - -центр окружности

Решение

Используем формулу площади круга через радиус.

Подставим значения и вычислим результат.